Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Paso 1

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Paso 2

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 3

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 4

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Paso 5

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 5.1

Separa las variables.

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Paso 5.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 5.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Paso 5.1.1.1.2

Resta $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Paso 5.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 5.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Paso 5.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Paso 5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Paso 5.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $3 - 2 V$ .

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Paso 5.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 5.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Integra ambos lados.

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Paso 5.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Sea $u = 3 - 2 V$ . Entonces $d u = - 2 d V$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Deja $u = 3 - 2 V$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Diferencia $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Paso 5.2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 5.2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 V$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Paso 5.2.2.1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $3$ con respecto a $V$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Paso 5.2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

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Paso 5.2.2.1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $- 2 V$ con respecto a $V$ es $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Paso 5.2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 5.2.2.1.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 5.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Paso 5.3

Resuelve $V$

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Paso 5.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Combina $\ln (| 3 - 2 V |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| 3 - 2 V |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Paso 5.3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Paso 5.3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.1

Simplifica $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Paso 5.3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Paso 5.3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Paso 5.3.4.1.3

Reordena los factores en $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Paso 5.3.5

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Paso 5.3.6

Reescribe $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Paso 5.3.7

Resuelve $V$

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Paso 5.3.7.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Paso 5.3.7.2

Divide cada término en $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.7.2.1

Divide cada término en $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Paso 5.3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.7.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Paso 5.3.7.2.2.1.2

Divide $| 3 - 2 V |$ por $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Paso 5.3.7.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Paso 5.3.7.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Paso 5.3.7.5

Divide cada término en $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.3.7.5.1

Divide cada término en $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 5.3.7.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.7.5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.3.7.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 5.3.7.5.2.1.2

Divide $V$ por $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 5.3.7.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.7.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.7.5.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Paso 5.3.7.5.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 6

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 7

Resuelve $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ en $y$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1.1

Combina $C$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.2.1.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.2.1.1.3

Combinar.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.2.1.1.4

Multiplica $C$ por $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.2.1.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Paso 7.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.2.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Paso 7.2.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Paso 7.2.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Paso 7.2.2.1.2.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Paso 7.2.2.1.2.4

Reordena $\frac{C}{2 x}$ y $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$