Cálculo Ejemplos

$x^{2} d x + 2 y d y = 0$

Paso 1

Resta $x^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y d y = - x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y d y = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$

Paso 3.2

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

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Paso 3.2.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K}$

Paso 3.2.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.3.1

Combina $K$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.4

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$

Paso 3.2.5

Reescribe $\sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$ como $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.2.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.2.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.2.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.2.7.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.2.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Paso 3.2.9

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$