Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 3$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 3 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 3 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 3 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

Paso 2.4

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

Paso 2.4.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Paso 2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Paso 2.6

Reordena los factores en $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Paso 6.2

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.2.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 6.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 6.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 6.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 6.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 6.8

Simplifica.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 6.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 3 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 3 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ y $e^{- 3 x}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $e^{- 3 x}$ de $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $- \frac{1}{4} e^{x}$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$