Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} (y - 21)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y - 21}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 21} (- \frac{1}{49} (y - 21))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{y - 21} (y - 21)$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{y - 21}$ por $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y - 21$ .

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Paso 1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(y - 21) \cdot 49}$ al numerador.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $y - 21$ de $(y - 21) \cdot 49$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) (49)} (y - 21)$

Paso 1.2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Paso 1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{49}$

Paso 1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y - 21} d y = - \frac{1}{49} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y - 21} d y = \int - \frac{1}{49} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y - 21$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y - 21$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 21$ .

$\frac{d}{d y} [y - 21]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 21$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 21$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 21$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{49} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 21$ .

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = - \frac{1}{49} t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y - 21 |)} = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{49} t + C} = | y - 21 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Paso 3.3.2

Combina $t$ y $\frac{1}{49}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{t}{49} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 21 = \pm e^{- \frac{t}{49} + C}$

Paso 3.3.4

Suma $21$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{- \frac{t}{49} + C} + 21$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{t}{49} + C}$ como $e^{- \frac{t}{49}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t}{49}} e^{C} + 21$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{t}{49}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t}{49}} + 21$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{t}{49}} + 21$