Cálculo Ejemplos

$\frac{d R}{d x} = a (R^{2} + 25)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{R^{2} + 25}$ .

$\frac{1}{R^{2} + 25} \frac{d R}{d x} = \frac{1}{R^{2} + 25} (a (R^{2} + 25))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $R^{2} + 25$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $R^{2} + 25$ de $a (R^{2} + 25)$ .

$\frac{1}{R^{2} + 25} \frac{d R}{d x} = \frac{1}{R^{2} + 25} ((R^{2} + 25) a)$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{R^{2} + 25} \frac{d R}{d x} = \frac{1}{R^{2} + 25} ((R^{2} + 25) a)$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{R^{2} + 25} \frac{d R}{d x} = a$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{R^{2} + 25} d R = a d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{R^{2} + 25} d R = \int a d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $R^{2}$ y $25$ .

$\int \frac{1}{25 + R^{2}} d R = \int a d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\int \frac{1}{5^{2} + R^{2}} d R = \int a d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{5^{2} + R^{2}}$ con respecto a $R$ es $\frac{1}{5} \arctan (\frac{R}{5}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{R}{5}) + C_{1} = \int a d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\arctan (\frac{R}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{R}{5})}{5} + C_{1} = \int a d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{\arctan (\frac{R}{5})}{5} + C_{1}$ como $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) + C_{1}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) + C_{1} = \int a d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) + C_{1} = a x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) = a x + K$

Paso 3

Resuelve $R$

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) = a x + K$ por $5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) = a x + K$ por $5$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} R) \cdot 5 = a x \cdot 5 + K \cdot 5$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $R$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{R}{5}) \cdot 5 = a x \cdot 5 + K \cdot 5$

Paso 3.1.2.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $\arctan (\frac{R}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{R}{5})}{5} \cdot 5 = a x \cdot 5 + K \cdot 5$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (\frac{R}{5})}{5} \cdot 5 = a x \cdot 5 + K \cdot 5$

Paso 3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (\frac{R}{5}) = a x \cdot 5 + K \cdot 5$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve $5$ a la izquierda de $a x$ .

$\arctan (\frac{R}{5}) = 5 \cdot (a x) + K \cdot 5$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $K$ .

$\arctan (\frac{R}{5}) = 5 a x + 5 K$

Paso 3.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $R$ del interior de la arcotangente.

$\frac{R}{5} = \tan (5 a x + 5 K)$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{R}{5} = 5 \tan (5 a x + 5 K)$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{R}{5} = 5 \tan (5 a x + 5 K)$

Paso 3.4.1.2

Reescribe la expresión.

$R = 5 \tan (5 a x + 5 K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$R = 5 \tan (5 a x + K)$