Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ por $x^{2} + 2 x - 3$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ por $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 x - 3$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 1.1.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.3.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.3.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Paso 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.5

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 2.3.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.5.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1.6.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.3.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.6.1.2

Divide $(A) (x + 3)$ por $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.6.4

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 2.3.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 2.3.1.1.6.4.2

Divide $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Paso 2.3.1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Paso 2.3.1.1.6.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Paso 2.3.1.1.6.7

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Paso 2.3.1.1.7

Mueve $3 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Paso 2.3.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.3.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 2.3.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 2.3.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 2.3.1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 2.3.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = 3 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.2.2.1

Simplifica $3 (1 - B) - 1 B$ .

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Paso 2.3.1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 3 B$ .

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3

Resuelve $B$ en $5 = 3 - 4 B$ .

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Paso 2.3.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 - 4 B = 5$ .

$3 - 4 B = 5$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 B = 5 - 3$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.2.2

Resta $3$ de $5$ .

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3

Divide cada término en $- 4 B = 2$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 4 B = 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.3.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 4$ .

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Paso 2.3.1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.3.1.3.4.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.3.1.3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.3.4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.3.4.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.3.4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.3.4.2.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica.

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Paso 2.3.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{x + 3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

Paso 2.3.1.5.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Paso 2.3.8

Sea $u_{2} = x + 3$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.8.1

Deja $u_{2} = x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.8.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.8.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Paso 2.3.10

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Paso 2.3.11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Paso 2.3.11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$