Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.5

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $v$ en $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$1 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 1$ .

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 1$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 1$

Paso 4.2.1.1.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$0 + 0 + K = 1$

Paso 4.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = 1$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 1$

Paso 5

Sustituye $1$ por $K$ en $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 1$