Cálculo Ejemplos

$(y - x) d x + 4 x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y - x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Paso 1.4

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Paso 1.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 4 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 4$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = 4$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - 4}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $4 x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $4 x$ por $N$ .

$\frac{1 - 4}{4 x}$

Paso 4.3.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{4 x}$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4 x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{4 x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} \ln (| x |)} + C$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- \frac{3}{4} \ln (| x |)$ .

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Paso 5.5.1.1

Reordena $\ln (| x |)$ y $\frac{3}{4}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \ln (| x |))} + C$

Paso 5.5.1.2

Simplifica $\frac{3}{4} \ln (| x |)$ al mover $\frac{3}{4}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})} + C$

Paso 5.5.2

Simplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1})} + C$

Paso 5.5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1} + C$

Paso 5.5.4

Multiplica los exponentes en ${({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{4} \cdot - 1} + C$

Paso 5.5.4.2

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 5.5.4.2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{4}} + C$

Paso 5.5.4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{4}} + C$

Paso 5.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{4}} + C$

Paso 5.5.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{4}}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y - x) d x + 4 x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y - x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$(y - x) \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y - x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $4 x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Paso 6.4.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Paso 6.4.2

Combina $x$ y $\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Paso 6.5

Mueve $x^{\frac{3}{4}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \cdot 4 x^{- \frac{3}{4}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x \cdot 4 d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $x^{- \frac{3}{4}}$ por $x$ .

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Paso 6.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x^{1} \cdot 4 d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + 1} \cdot 4 d y = 0$

Paso 6.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Paso 6.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{- 3 + 4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Paso 6.6.5

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Paso 6.7

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x^{\frac{1}{4}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{\frac{1}{4}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{1}{4}} y$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.6.2

Resta $4$ de $1$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 y (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 y \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.9

Combina $4$ y $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$y \frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.10

Combina $y$ y $\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{y (4 x^{- \frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.11

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.12

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.13

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.3.14

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Simplifica $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} - \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Paso 12.1.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (y - x)}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y - - x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 12.1.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + 1 x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 12.1.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 12.1.1.3.1

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.4.1

Mueve $x^{\frac{3}{4}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} + x \cdot x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{3}{4}}$ .

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Paso 12.1.1.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{1} x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d x} + x^{1 - \frac{3}{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4 - 3}{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2.4

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{1}{4}} = 0$

Paso 12.1.2

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{4}}$ que esté presente en cada término.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + x^{\frac{1}{4}}$

Paso 12.1.3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{4}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + u = 0$

Paso 12.1.4

Resuelve $u$

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Paso 12.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 12.1.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Paso 12.1.4.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.1.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Paso 12.1.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} + u = 0$

Paso 12.1.4.1.2

Simplifica.

$\frac{d g}{d x} + u = 0$

Paso 12.1.4.2

Resta $\frac{d g}{d x}$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - \frac{d g}{d x}$

Paso 12.1.5

Sustituye $\frac{d g}{d x}$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{4}} = - \frac{d g}{d x}$

Paso 12.1.6

Resta $x^{\frac{1}{4}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- x^{\frac{1}{4}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$g (x) = - (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$

Paso 13.5

Reescribe $- (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$ como $- \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

$g (x) = - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $x^{\frac{5}{4}}$ y $\frac{4}{5}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{x^{\frac{5}{4}} \cdot 4}{5} + C$

Paso 15.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{5}{4}}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{4}} - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$