Cálculo Ejemplos

$y d x + 2 x d y = 0$

Paso 1

Resta $y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x d y = - y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x y}$ al numerador.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (y^{2} | x |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$y^{2} | x | = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $y^{2} | x | = e^{C}$ por $| x |$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $y^{2} | x | = e^{C}$ por $| x |$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Paso 5.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.3.2

Eleva $\sqrt{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.3.3

Eleva $\sqrt{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

Paso 5.5.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

Paso 5.5.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{| x |}}^{2}$ como $| x |$ .

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Paso 5.5.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

Paso 5.5.4.3.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

Paso 5.5.4.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Paso 5.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Paso 5.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.