Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + x}{1 + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por ${(1 + y)}^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de ${(1 + y)}^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Reescribe la expresión.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(1 + x)}^{2}$ como $(1 + x) (1 + x)$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

Paso 1.3.3

Expande $(1 + x) (1 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $x$ por $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

Paso 1.3.4.2

Suma $x$ y $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 + y)}^{3}$ .

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

Paso 3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$