Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 x - 5$ y $y (7) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (8 x - 5) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 8 x - 5 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 x - 5 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 8 x d x + \int - 5 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 8 \int x d x + \int - 5 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 5 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{1} = 4 x^{2} - 5 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 4 x^{2} - 5 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $7$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = 4 x^{2} - 5 x + K$ .

$0 = 4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K = 0$ .

$4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot 49 - 5 \cdot 7 + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $4$ por $49$ .

$196 - 5 \cdot 7 + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$196 - 35 + K = 0$

Paso 4.2.2

Resta $35$ de $196$ .

$161 + K = 0$

Paso 4.3

Resta $161$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 161$

Paso 5

Sustituye $- 161$ por $K$ en $y = 4 x^{2} - 5 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 161$ por $K$ .

$y = 4 x^{2} - 5 x - 161$