Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 3.4

Combina $x$ y $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Paso 3.5.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Paso 7

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{2} y = - \cos (x) + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{2} y = - \cos (x) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Evalúa $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Paso 10.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Paso 10.2.1.3

Divide $0.99939082$ por $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Paso 10.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Paso 10.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Suma $0.2498477$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Paso 10.3.2

Suma $1$ y $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Paso 10.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Paso 10.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.5.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Paso 10.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Paso 10.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.5.2.1

Multiplica $4$ por $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Paso 11

Sustituye $4.99939082$ por $C$ en $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $4.99939082$ por $C$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$