Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 1.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (| x |)$ y $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$