Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x e^{x}$ , $y (1) = e - 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x e^{x}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x e^{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (e^{x}))$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} y = \int e^{x} d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{x} y = e^{x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{y}{x} = e^{x} + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (e^{x} + C) x$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(e^{x} + C) x$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = e^{x} x + C x$

Paso 8.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Reordena los factores en $e^{x} x + C x$ .

$y = x e^{x} + C x$

Paso 8.3.2.1.2.2

Reordena $x e^{x}$ y $C x$ .

$y = C x + x e^{x}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $e - 1$ por $y$ en $y = C x + x e^{x}$ .

$e - 1 = C \cdot 1 + 1 e^{1}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $C \cdot 1 + 1 e^{1} = e - 1$ .

$C \cdot 1 + 1 e = e - 1$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $C$ por $1$ .

$C + 1 e^{1} = e - 1$

Paso 10.2.2

Multiplica $e^{1}$ por $1$ .

$C + e^{1} = e - 1$

Paso 10.2.3

Simplifica.

$C + e = e - 1$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $e$ de ambos lados de la ecuación.

$C = e - 1 - e$

Paso 10.3.2

Resta $e$ de $e$ .

$C = 0 - 1$

Paso 10.3.3

Resta $1$ de $0$ .

$C = - 1$

Paso 11

Sustituye $- 1$ por $C$ en $y = C x + x e^{x}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $- 1$ por $C$ .

$y = - 1 x + x e^{x}$

Paso 11.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x + x e^{x}$