Cálculo Ejemplos

$x^{6} + 16 y \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $x^{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$16 y \frac{d y}{d x} = - x^{6}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $16 y \frac{d y}{d x} = - x^{6}$ por $16 y$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $16 y \frac{d y}{d x} = - x^{6}$ por $16 y$ .

$\frac{16 y \frac{d y}{d x}}{16 y} = \frac{- x^{6}}{16 y}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 y \frac{d y}{d x}}{16 y} = \frac{- x^{6}}{16 y}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{6}}{16 y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{6}}{16 y}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{6}}{16 y}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{6}}{16 y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{6}}{16 y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{6}}{16 y}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{6}}{16 y}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $y$ de $16 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{6}}{y \cdot 16}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{6}}{y \cdot 16}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{6}}{16}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = - \frac{x^{6}}{16} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x^{6}}{16} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{6}}{16} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{6}}{16} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{16} \int x^{6} d x)$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{1}{16} (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$ como $- \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{7 \cdot 16} x^{7} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $7$ por $16$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{112} x^{7} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{112} x^{7} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{112} x^{7} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{112} x^{7} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{112} x^{7} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{112} x^{7} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{112} x^{7} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{7}$ y $\frac{1}{112}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{7}}{112} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{7}}{112}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{7}}{112}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{7}}{112} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $112$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{7}}{2 (56)} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{7}}{2 \cdot 56} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{- x^{7}}{56} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x^{7}}{56} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{7}}{56} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x^{7}}{56} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{56}{56}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{7}}{56} + 2 K \cdot \frac{56}{56}}$

Paso 3.4.2

Combina $2 K$ y $\frac{56}{56}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{7}}{56} + \frac{2 K \cdot 56}{56}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{7} + 2 K \cdot 56}{56}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $56$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{7} + 112 K}{56}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\frac{- x^{7} + 112 K}{56}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{7} + 112 K}{14}$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $- x^{7} + 112 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{7} + 112 K)}{56}}$

Paso 3.4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $56$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{7} + 112 K)}{2^{2} \cdot 14}}$

Paso 3.4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (- x^{7} + 112 K)}{2^{2} \cdot 14}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{7} + 112 K}{14}}$

Paso 3.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{7} + 112 K}{14}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $\sqrt{\frac{- x^{7} + 112 K}{14}}$ como $\frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K}}{\sqrt{14}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K}}{\sqrt{14}}$

Paso 3.4.8

Combinar.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{7} + 112 K}}{2 \sqrt{14}}$

Paso 3.4.9

Multiplica $\sqrt{- x^{7} + 112 K}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K}}{2 \sqrt{14}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K}}{2 \sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K}}{2 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Paso 3.4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K}}{2 \sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Paso 3.4.11.2

Mueve $\sqrt{14}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Paso 3.4.11.3

Eleva $\sqrt{14}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 ({\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14})}$

Paso 3.4.11.4

Eleva $\sqrt{14}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 ({\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1})}$

Paso 3.4.11.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.11.6

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{2}}$

Paso 3.4.11.7

Reescribe ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

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Paso 3.4.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.11.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.11.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.11.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.11.7.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.11.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{1}}$

Paso 3.4.11.7.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{7} + 112 K} \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Paso 3.4.12

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{7} + 112 K) \cdot 14}}{2 \cdot 14}$

Paso 3.4.13

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.13.1

Multiplica $2$ por $14$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{7} + 112 K) \cdot 14}}{28}$

Paso 3.4.13.2

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- x^{7} + 112 K) \cdot 14}}{28}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

$y = \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

$y = \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + 112 K)}}{28}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + K)}}{28}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (- x^{7} + K)}}{28}$