Cálculo Ejemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 2.3.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 2.3.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 2.3.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 2.3.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 2.3.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.3.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$y + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$y + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = x - \ln (| x + 1 |) + C$