Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $24$ es constante con respecto a $x$ , mueve $24$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

Paso 2.3.4

Multiplica $24$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.3.5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Paso 2.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Paso 2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2.3.8.1.2

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 2.3.8.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2.3.8.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.8.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2.3.8.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2.3.8.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2.3.8.1.2.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2.3.8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.8.2.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.8.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.8.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

Paso 2.3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

Paso 2.3.10.1.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.10.2

Simplifica.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.10.3

Simplifica.

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Paso 2.3.10.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.10.3.2

Combina $12$ y $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.10.3.3

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 2.3.10.3.3.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.10.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

Paso 2.3.10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$