Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

Paso 1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 7.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 7.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 7.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 7.6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Paso 7.7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Paso 7.8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 7.9

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Paso 7.10

Simplifica.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Paso 8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Paso 8.3.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

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Paso 8.3.3.1

Suma $- 2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Paso 8.3.3.2

Suma $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ y $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Paso 8.3.3.3

Resta $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

Paso 8.3.3.4

Suma $x^{2} e^{x}$ y $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$