Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \cos^{2} (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3.1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int - 1 u^{2} d u$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int u^{2} d u$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Reescribe $- (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + K$