Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Paso 2.3

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Paso 2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Paso 2.3.3

Resta $x$ de $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Paso 2.4

Simplifica $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Paso 2.5

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$