Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} + P = 10$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d P}{d t} + e^{t} P = e^{t} \cdot 10$

Paso 2.2

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d P}{d t} + e^{t} P = 10 \cdot e^{t}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{t} \frac{d P}{d t} + e^{t} P = 10 e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d P}{d t} + P e^{t} = 10 e^{t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} P] = 10 e^{t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} P] d t = \int 10 e^{t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{t} P = \int 10 e^{t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$e^{t} P = 10 \int e^{t} d t$

Paso 6.2

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$e^{t} P = 10 (e^{t} + C)$

Paso 6.3

Simplifica.

$e^{t} P = 10 e^{t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{t} P = 10 e^{t} + C$ por $e^{t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{t} P = 10 e^{t} + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} P}{e^{t}} = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t} P}{e^{t}} = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $P$ por $1$ .

$P = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$P = \frac{10 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $10$ por $1$ .

$P = 10 + \frac{C}{e^{t}}$