Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Paso 2.2

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Paso 6.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Paso 6.3

Simplifica.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Paso 9.2

Simplifica $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Paso 9.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Paso 9.2.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$- 1 + C = 3$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 3 + 1$

Paso 9.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$C = 4$

Paso 10

Sustituye $4$ por $C$ en $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Sustituye $4$ por $C$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$