Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

Paso 1.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} t$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = t^{2} y + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $t^{2} y + K y = - 1$ .

$t^{2} y + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $t^{2} y + K y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $t^{2} y$ .

$y t^{2} + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y t^{2} + y K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y t^{2} + y K$ .

$y (t^{2} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y (t^{2} + K) = - 1$ por $t^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y (t^{2} + K) = - 1$ por $t^{2} + K$ .

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $t^{2} + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $t$ y de $1$ por $y$ en $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ .

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ .

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

Paso 5.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$9 + K, 1$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis.

$9 + K, 1$

Paso 5.3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$9 + K$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{9 + K} = 1$ por $9 + K$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{9 + K} = 1$ por $9 + K$ .

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $9 + K$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{9 + K}$ al numerador.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = 1 (9 + K)$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Multiplica $9 + K$ por $1$ .

$- 1 = 9 + K$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $9 + K = - 1$ .

$9 + K = - 1$

Paso 5.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 1 - 9$

Paso 5.5.2.2

Resta $9$ de $- 1$ .

$K = - 10$

Paso 6

Sustituye $- 10$ por $K$ en $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $- 10$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$