Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 7$ , $y (0) = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 3$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} \cdot 7$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} \cdot 7$

Paso 2.3

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 \cdot e^{3 t}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 7 e^{3 t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 7 e^{3 t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 7 e^{3 t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 t} y = \int 7 e^{3 t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $t$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$e^{3 t} y = 7 \int e^{3 t} d t$

Paso 6.2

Sea $u = 3 t$ . Entonces $d u = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 3 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 6.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{3 t} y = 7 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 6.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 t} y = 7 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{3 t} y = 7 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $7$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} \int e^{u} d u$

Paso 6.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} (e^{u} + C)$

Paso 6.7

Simplifica.

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{u} + C$

Paso 6.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ por $e^{3 t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ por $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{3 t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$1 = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{1} = 1$

Paso 9.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{7}{3} + C = 1$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{7}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 1 - \frac{7}{3}$

Paso 9.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$C = \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 9.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{3 - 7}{3}$

Paso 9.3.4

Resta $7$ de $3$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

Paso 9.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{4}{3}$

Paso 10

Sustituye $- \frac{4}{3}$ por $C$ en $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $- \frac{4}{3}$ por $C$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{- \frac{4}{3}}{e^{3 t}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 t}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{1}{e^{3 t}}$ por $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{e^{3 t} \cdot 3}$

Paso 10.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3 e^{3 t}}$