Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y + y^{3}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + y^{3}}$ .

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y + y^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + y^{3}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + y^{3}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $y$ de $y + y^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y^{1} + y^{3}}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y^{3}}$

Paso 2.2.1.1.1.3

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \cdot y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y \cdot y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot (1 + y^{2})}$

Paso 2.2.1.1.1.5

Multiplica $y$ por $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{y (1 + y^{2})}$

Paso 2.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $y (1 + y^{2})$ .

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.6.1.2

Divide $A (1 + y^{2})$ por $1$ .

$1 = A (1 + y^{2}) + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.6.4

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.6.4.2

Divide $(B y + C) (y)$ por $1$ .

$1 = A + A y^{2} + (B y + C) (y)$

Paso 2.2.1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A + A y^{2} + B y \cdot y + C y$

Paso 2.2.1.1.6.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.6.6.1

Mueve $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B (y \cdot y) + C y$

Paso 2.2.1.1.6.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B y^{2} + C y$

Paso 2.2.1.1.7

Mueve $A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y + A$

Paso 2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 2.2.1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 2.2.1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Paso 2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 2.2.1.3.2

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.2.1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.2.1.3.4

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 2.2.1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.2.1.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 2.2.1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Paso 2.2.1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Paso 2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 1 y + 0}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{y} + \frac{(- 1) \cdot y + 0}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.5.2.1

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y + 0}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.5.2.2

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y}{1 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{y} - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.5

Sea $u = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 2.2.5.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Paso 2.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Paso 2.2.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.11

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) = x + C$