Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = (1 + 2 x) \sqrt{y}$ , $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 2 x) \sqrt{y})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sqrt{y}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\sqrt{y}$ de $(1 + 2 x) \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 2 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.2.1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x$

Paso 2.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 1 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{2} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Combinar.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Combinar.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.7

Combinar.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.9

Combinar.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x \cdot x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.3.1.10.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.10.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.10.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.12

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.12.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.12.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.12.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.12.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.12.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.13

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.13.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.13.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.14

Combinar.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.15

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.16

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.16.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.16.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.17

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.3.1.17.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.17.2

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.17.3

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.17.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.17.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.17.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} K + x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $x^{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} K + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Suma $x^{2} K$ y $K x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.1

Reordena $x^{2}$ y $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Suma $K x^{2}$ y $K x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + 2 K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.5

Suma $x K$ y $K x$ .

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Paso 3.3.2.1.5.1

Reordena $x$ y $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + K x + K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.5.2

Suma $K x$ y $K x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.6

Divide la fracción $\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$ en dos fracciones.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7

Factoriza $x$ de $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.7.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.2

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.3

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.4

Factoriza $x$ de $2 K x$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.5

Factoriza $x$ de $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.6

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.7

Factoriza $x$ de $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.8

Factoriza $x$ de $x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.7.9

Factoriza $x$ de $x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.4

Simplifica $\frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Paso 3.4.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K + 2 K x + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.4.2

Mueve $2 K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K x + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.4.3

Mueve $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 K x + 2 x^{2} + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ .

$1 = \frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$

Paso 6.2

Simplifica $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$ .

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Paso 6.2.1

Suma $0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K$ y $0$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Paso 6.2.2

Suma $K \cdot 0$ y $K$ .

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Paso 6.2.2.1

Reordena $0 \cdot K$ y $K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K + 0 \cdot K)}{4} + K = 1$

Paso 6.2.2.2

Suma $K$ y $0 \cdot K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Paso 6.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4} + K = 1$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 (1)} + K = 1$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 \cdot 1} + K = 1$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{1} + K = 1$

Paso 6.2.3.1.2.4

Divide $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ por $1$ .

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Paso 6.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Paso 6.2.3.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0 + K) + K = 1$

Paso 6.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 (0 + 0 + K) + K = 1$

Paso 6.2.3.3

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 6.2.3.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 (0 + K) + K = 1$

Paso 6.2.3.3.2

Suma $0$ y $K$ .

$0 K + K = 1$

Paso 6.2.3.4

Multiplica $0$ por $K$ .

$0 + K = 1$

Paso 6.2.4

Suma $0$ y $K$ .

$K = 1$

Paso 7

Sustituye $1$ por $K$ en $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 1 x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Paso 7.2

Suma $1 x$ y $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K$

Paso 7.3

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.4

Combina $K$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 7.6.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{1 + 3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.2.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$y = \frac{x^{4} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.6.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2 + 1} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.6.3.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 (x \cdot x) + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + K \cdot 4}{4}$

Paso 7.6.4

Mueve $4$ a la izquierda de $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + 4 K}{4}$