Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $t$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Paso 1.2

Sea $u_{1} = 2 t$ . Entonces $d u_{1} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.2.1

Deja $u_{1} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 1.2.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 1.3

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Paso 1.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 1.5

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Paso 1.6

Simplifica.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Paso 1.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.3

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 3.3.3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.4

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.7

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Paso 3.3.8

Aplica la regla de la constante.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Paso 3.3.9

Simplifica.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Paso 3.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$