Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

Paso 1

Sea $V = \frac{x}{y}$ . Sustituye $V$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

Paso 2

Resuelve $V = \frac{x}{y}$ en $x$ .

$x = V y$

Paso 3

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $x = V y$ con respecto a $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Paso 4

Sustituye $y \frac{d V}{d y} + V$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

Paso 5

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 5.1

Separa las variables.

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Paso 5.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d y}$

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Paso 5.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

Paso 5.1.1.1.2

Resta $V$ de $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

Paso 5.1.1.2

Divide cada término en $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ por $y$ y simplifica.

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Paso 5.1.1.2.1

Divide cada término en $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Paso 5.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

Paso 5.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 5.1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{V}$ al numerador.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Paso 5.1.3.2.2

Factoriza $V$ de $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Paso 5.1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Paso 5.1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

Paso 5.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

Paso 5.2

Integra ambos lados.

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Paso 5.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

Paso 5.2.2

La integral de $\frac{1}{V}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

Paso 5.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

Paso 5.2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

Paso 5.2.3.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

Paso 5.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

Paso 5.3

Resuelve $V$

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Paso 5.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

Paso 5.3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

Paso 5.3.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

Paso 5.3.2.1.3

Reordena los factores en $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

Paso 5.3.3

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

Paso 5.3.4

Reescribe $\ln (y^{2} | V |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

Paso 5.3.5

Resuelve $V$

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Paso 5.3.5.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

Paso 5.3.5.2

Divide cada término en $y^{2} | V | = e^{C}$ por $y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.2.1

Divide cada término en $y^{2} | V | = e^{C}$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Paso 5.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Paso 5.3.5.2.2.1.2

Divide $| V |$ por $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Paso 5.3.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Paso 5.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

Paso 5.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

Paso 6

Sustituye $\frac{x}{y}$ por $V$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

Paso 7

Resuelve $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ en $x$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Combina $C$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{C}{y}$