Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (0) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Paso 2.3.2

La integral de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Paso 2.3.4

La integral de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $3$ por $s$ en $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$3 = \sin (0) + \cos (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\sin (0) + \cos (0) + K = 3$ .

$\sin (0) + \cos (0) + K = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\sin (0) + \cos (0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + \cos (0) + K = 3$

Paso 4.2.1.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 1 + K = 3$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$1 + K = 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 3 - 1$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $3$ .

$K = 2$

Paso 5

Sustituye $2$ por $K$ en $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $2$ por $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 2$