Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{5 e^{y}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{5 e^{y}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $e^{y}$ de $5 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{e^{y} \cdot 5}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{e^{y} \cdot 5}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{5}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$e^{y} d y = \frac{9 x^{8}}{5} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y} d y = \int \frac{9 x^{8}}{5} d x$

Paso 2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{9 x^{8}}{5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{9}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{9}{5}$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5} \int x^{8} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{9}{5} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$ como $\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{9}{5}$ por $\frac{1}{9}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5 \cdot 9} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $5$ por $9$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{45} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común de $9$ y $45$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9 (1)}{45} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 5} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y} + C_{1} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 5} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{5} x^{9} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{5} x^{9} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$