Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $\frac{2 x}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Suma $\frac{1}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

Paso 1.1.2.2

Suma $\frac{2 x}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.3.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.1.3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.1.3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{x}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

Paso 1.2.2.2

Reordena los factores de $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

Paso 1.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

Paso 2.3.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$