Cálculo Ejemplos

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ por $e^{5 x}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 x}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Niega el exponente de $e^{5 x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $e^{- 5 x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = - 5 x$ . Entonces $d u = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = - 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3.3.1.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Paso 2.3.4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 7$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.10

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$