Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

Paso 1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Paso 7.5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Paso 7.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 7.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 7.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 7.10

Reescribe $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Paso 7.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Paso 7.12.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Paso 7.12.1.3

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.3.1

Cancela el factor común.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Paso 7.12.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{2 x}}{4}$ al numerador.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Paso 7.12.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

Paso 7.12.4.3

Cancela el factor común.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Paso 7.12.4.4

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.6

Para escribir $x e^{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.7

Combina $x e^{2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.9.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.9.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.12.9.2.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Paso 7.12.9.2.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Paso 7.12.9.2.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.4

Reescribe $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.8

Combina $e^{2 x} x$ y $- \frac{e^{2 x}}{2}$ mediante un denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.8.1

Reordena $e^{2 x}$ y $x$ .

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.8.2

Para escribir $x e^{2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.8.3

Combina $x e^{2 x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.9.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.9.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.9.2.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.9.2.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.9.2.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.4.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5.4

Reescribe $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5.5

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.6

Reordena los factores en $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.8

Multiplica $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ por $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$