Cálculo Ejemplos

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Paso 3.4.2

Suma $12 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $12 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 12 x$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x = 12 x$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $12 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $2 x y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $2 x y$ por $M$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x$ de $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Paso 5.3.2.3

Resta $2$ de $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{2 y}$

Paso 5.3.4

Sustituye $2 x y$ por $M$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Simplifica $5 \ln (| y |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Paso 6.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ por el factor integrador $y^{5}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $2 x y$ por $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $y$ por $y^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Multiplica $y^{5}$ por $y$ .

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Paso 7.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.2.3

Suma $5$ y $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $6 x^{2} + y^{3}$ por $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $y^{3}$ por $y^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Paso 7.5.2

Suma $3$ y $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = 2 x y^{6}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $2 y^{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y^{6}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.2

Combina $y^{6}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.4

Multiplica $2$ por $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Paso 9.3.2.5.2

Divide $y^{6}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{6} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{6} x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12.3.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $6 y^{5} x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

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Paso 13.1.2.1

Reordena los factores en los términos $6 x^{2} y^{5}$ y $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Paso 13.1.2.2

Resta $6 y^{5} x^{2}$ de $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Paso 13.1.2.3

Suma $y^{8}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $y^{8}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Paso 14.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{8}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Paso 16

Combina $\frac{1}{9}$ y $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$