Cálculo Ejemplos

$(2 x y^{2} + 1) d x + (2 x^{2} y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + 1]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y^{2} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 0$

Paso 1.4.2

Suma $4 x y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Paso 2.2

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (2 x)$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $4 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $4 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y = 4 x y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$4 x y = 4 x y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = 2 x^{2} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2.4

Multiplica $2$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 2 x y^{2} + 1$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$ .

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Paso 9.1.2.1

Reordena los factores en los términos $2 x y^{2}$ y $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 1 - 2 y^{2} x$

Paso 9.1.2.2

Resta $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 1$

Paso 9.1.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x + C$