Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} y}$

Paso 1.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{2}}{y^{2} y}$

Paso 1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 2}}{y^{2} y}$

Paso 1.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y}$

Paso 1.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y^{1}}$

Paso 1.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2 + 1}}$

Paso 1.2.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{y^{2}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{x + C}$ .

$| y | = e^{x + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{x}$