Cálculo Ejemplos

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 + x$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| 1 + x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| 1 + x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Multiplica ambos lados por ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de ${(1 + x)}^{2}$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Paso 5.5.4

Resuelve $y$

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Paso 5.5.4.1

Simplifica $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

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Paso 5.5.4.1.1

Reescribe ${(1 + x)}^{2}$ como $(1 + x) (1 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

Paso 5.5.4.1.2

Expande $(1 + x) (1 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

Paso 5.5.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

Paso 5.5.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Paso 5.5.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.4.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Paso 5.5.4.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Paso 5.5.4.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

Paso 5.5.4.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

Paso 5.5.4.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

Paso 5.5.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Paso 5.5.4.1.5

Simplifica.

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Paso 5.5.4.1.5.1

Multiplica $e^{C}$ por $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Paso 5.5.4.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Paso 5.5.4.1.6

Reordena los factores en $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Paso 5.5.4.1.7

Mueve $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

Paso 5.5.4.1.8

Reordena $2 x e^{C}$ y $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

Paso 5.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$