Cálculo Ejemplos

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

Paso 1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $2 x - y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

Paso 1.3.8.2

Resta $y$ de $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 2 y = - 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x - 2 y = - 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y (2 x - y)$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y (2 x - y)$ por $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $2$ de $- 4 x + 2 y$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $- 2 x + y$ y $2 x - y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.3.4

Reescribe $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Paso 4.3.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 4.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.5

Sustituye $y (2 x - y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y (2 x - y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $2 x - y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $- x^{2} - y^{2} - 1$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.9

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.11

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.12

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.13

Reescribe $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

Paso 8.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Paso 8.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

Paso 8.4

Dado que $\frac{2}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

Paso 8.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Paso 8.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Paso 8.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Paso 8.8

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

Paso 8.9

Simplifica.

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Paso 8.9.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

Paso 8.9.2

Multiplica $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Paso 8.9.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.9.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Paso 8.9.3.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{y}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.4

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.6.2

Combina los términos.

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Paso 11.6.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.6.2.2

Suma $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 11.6.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Suma $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Suma $0$ y $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Para escribir $\frac{d g}{d y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.2

Establece el numerador igual a cero.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Paso 12.1.3

Resuelve la ecuación en $\frac{d g}{d y}$ .

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Paso 12.1.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.3.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

Paso 12.1.3.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

Paso 12.1.3.2

Divide cada término en $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ por $y^{2}$ y simplifica.

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Paso 12.1.3.2.1

Divide cada término en $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ por $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Paso 12.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Paso 12.1.3.2.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Paso 12.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 12.1.3.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Paso 12.1.3.2.3.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

Paso 12.1.3.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 13.4

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 13.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 13.6

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 13.7

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 13.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 13.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

Paso 13.8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

Paso 13.9

Simplifica.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

Paso 13.10

Simplifica.

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Paso 13.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

Paso 13.10.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$