Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y + 1$

Paso 1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x + 1$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.5

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.6

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.9

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{2 x} d x$

Paso 7.10

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.10.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.10.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7.11

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 7.12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.13

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.14

Simplifica.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.3

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.3

Para escribir $\frac{e^{2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.4.1

Multiplica $\frac{e^{2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.6

Suma $- e^{2 x}$ y $e^{2 x} \cdot 2$ .

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Paso 8.3.6.1

Reordena $e^{2 x}$ y $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + 2 \cdot e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.6.2

Suma $- e^{2 x}$ y $2 \cdot e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.7.1

Para escribir $\frac{x e^{2 x}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.7.2.1

Multiplica $\frac{x e^{2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.7.4.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.7.4.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $x e^{2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.4.1.2

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.4.1.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2 + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.5

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.6

Combina $C$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.7.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.8.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.7.8.4

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.9

Multiplica $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

Paso 8.3.10

Reordena los factores en $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$