Cálculo Ejemplos

$(1 + \sin (y)) d x + (x \cos (y) - 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y)$

Paso 1.4

Suma $0$ y $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x \cos (y) - 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y) - 2 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cos (y) - 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\cos (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\cos (y)$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\cos (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\cos (y)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (y) = \cos (y)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + \sin (y) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x + g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(1 + \sin (y)) x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $(1 + \sin (y)) x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.3.4

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$x (0 + \cos (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.3.5

Suma $0$ y $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) = x \cos (y) - 2 y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x \cos (y)$ de $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $- 2 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- 2 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Paso 10.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = 1 x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Paso 12.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x + x \sin (y) - y^{2} + C$