Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

Paso 1.1.2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Paso 1.1.3

Resuelve la ecuación en $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $y^{2} - 2$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

Paso 1.1.3.2

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ por $x^{2} \cdot 2 y$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.2.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ por $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.3.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.3.2.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Paso 1.1.3.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Paso 1.1.3.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

Paso 1.1.3.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{y}{2 x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

Paso 1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{x^{2} y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 y x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{y}{2 x^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{2} y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3

Reordena los factores de $x^{2} y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

Paso 1.2.5

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $2 y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 y$ de $2 y x^{2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y^{2} - 2$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = y^{2} - 2$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = y^{2} - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Paso 2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 2.2.2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y + 0$

Paso 2.2.2.1.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.3.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

Paso 3.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{1}{x} + C}$ como $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{1}{x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$