Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 5}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sqrt{x - 5}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2.3.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{2}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Paso 2.3.5

Sea $u = x - 5$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.5.1

Deja $u = x - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 2.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.5.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 5) d u$

Paso 2.3.6

Expande $u^{\frac{3}{2}} (u + 5)$ .

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Paso 2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d u$

Paso 2.3.6.2

Reordena $u^{\frac{3}{2}}$ y $5$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 5 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.7

Suma $3$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2.3.6.8

Reordena $u^{\frac{5}{2}}$ y $5 u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int 5 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{5}{2}} d u$

Paso 2.3.7

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int 5 u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Paso 2.3.8

Dado que $5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Paso 2.3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Paso 2.3.10

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Paso 2.3.11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{3})$

Paso 2.3.12

Simplifica.

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Paso 2.3.12.1

Combina $\frac{2}{7}$ y $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C_{3})$

Paso 2.3.12.2

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3

Simplifica.

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Paso 2.3.12.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.2

Combina $\frac{2 x^{2}}{3}$ y ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.3

Combina $5$ y $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{10}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.5

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

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Paso 2.3.12.3.5.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.12.3.5.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.6

Para escribir $- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.7

Combina $- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ y $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.9

Combina $\frac{2}{7}$ y $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.11

Combina $- 3$ y $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.12

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.13

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 2.3.12.3.13.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.12.3.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.12.3.13.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Paso 2.3.14

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 5)}^{\frac{7}{2}})) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 5)}^{\frac{7}{2}})) + K$