Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = \frac{4 t^{2} + 3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{x}{t}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{4 t^{2} + 3 x^{2}}{2 t x}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{4 t^{2} + 3 x^{2}}{2 t x}$ en dos fracciones.

$\frac{d x}{d t} = \frac{4 t^{2}}{2 t x} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 (2 t^{2})}{2 t x} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 (2 t^{2})}{2 (t x)} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 (2 t^{2})}{2 (t x)} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 t^{2}}{t x} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $t^{2}$ y $t$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $t$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t (2 t)}{t x} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $t$ de $t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t (2 t)}{t (x)} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t (2 t)}{t x} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 t}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 t x}$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 t}{x} + \frac{x (3 x)}{2 t x}$

Paso 1.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 t}{x} + \frac{x (3 x)}{x (2 t)}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 t}{x} + \frac{x (3 x)}{x (2 t)}$

Paso 1.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 t}{x} + \frac{3 x}{2 t}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{x}{t})$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{t}{x}$ de $\frac{2 t}{x}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $\frac{t}{x}$ de $\frac{2 t}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x} \cdot 2 + \frac{3 x}{2 t}$

Paso 1.2.1.2

Reordena $\frac{t}{x}$ y $2$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 \cdot \frac{t}{x} + \frac{3 x}{2 t}$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{t}{x}$ como ${(\frac{x}{t})}^{- 1}$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 \cdot {(\frac{x}{t})}^{- 1} + \frac{3 x}{2 t}$

Paso 1.3

Factoriza $\frac{x}{t}$ de $\frac{3 x}{2 t}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $\frac{x}{t}$ de $\frac{3 x}{2 t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 \cdot {(\frac{x}{t})}^{- 1} + \frac{x}{t} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 1.3.2

Reordena $\frac{x}{t}$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 \cdot {(\frac{x}{t})}^{- 1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{t}$

Paso 2

Sea $V = \frac{x}{t}$ . Sustituye $V$ por $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 \cdot V^{- 1} + \frac{3}{2} V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{x}{t}$ en $x$ .

$x = V t$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $x = V t$ con respecto a $t$ .

$\frac{d x}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Paso 5

Sustituye $t \frac{d V}{d t} + V$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = 2 \cdot V^{- 1} + \frac{3}{2} V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d t}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = 2 \cdot \frac{1}{V} + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina $2$ y $\frac{1}{V}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = \frac{2}{V} + \frac{3}{2} V$

Paso 6.1.1.1.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = \frac{2}{V} + \frac{3 V}{2}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$t \frac{d V}{d t} = \frac{2}{V} + \frac{3 V}{2} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $t \frac{d V}{d t} = \frac{2}{V} + \frac{3 V}{2} - V$ por $t$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $t \frac{d V}{d t} = \frac{2}{V} + \frac{3 V}{2} - V$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{\frac{2}{V}}{t} + \frac{\frac{3 V}{2}}{t} + \frac{- V}{t}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{\frac{2}{V}}{t} + \frac{\frac{3 V}{2}}{t} + \frac{- V}{t}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V}}{t} + \frac{\frac{3 V}{2}}{t} + \frac{- V}{t}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{3 V}{2} - V}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $V$ de $3 V - V \cdot 2$ .

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Factoriza $V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{V \cdot 3 - V \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factoriza $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factoriza $V$ de $V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{V (3 - 1 \cdot 2)}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{V (3 - 2)}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{V \cdot 1}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.2

Multiplica $V$ por $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} + \frac{V}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.1

Para escribir $\frac{2}{V}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} \cdot \frac{2}{2} + \frac{V}{2}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.2

Para escribir $\frac{V}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2}{V} \cdot \frac{2}{2} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $V \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.3.1

Multiplica $\frac{2}{V}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2 \cdot 2}{V \cdot 2} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3.2

Multiplica $\frac{V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2 \cdot 2}{V \cdot 2} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3.3

Reordena los factores de $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2 \cdot 2}{2 V} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{2 \cdot 2 + V \cdot V}{2 V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{4 + V \cdot V}{2 V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{\frac{4 + V^{2}}{2 V}}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d t} = \frac{4 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{t}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Multiplica $\frac{4 + V^{2}}{2 V}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{4 + V^{2}}{2 V t}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d t} = \frac{4 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{t}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 V}{4 + V^{2}}$ .

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{2 V}{4 + V^{2}} (\frac{4 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{t})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{4 + V^{2}}{2 V}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{2 V}{4 + V^{2}} \cdot \frac{4 + V^{2}}{2 V t}$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común de $2 V$ .

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $2 V$ de $2 V t$ .

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{2 V}{4 + V^{2}} \cdot \frac{4 + V^{2}}{2 V (t)}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{2 V}{4 + V^{2}} \cdot \frac{4 + V^{2}}{2 V t}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{4 + V^{2}} \cdot \frac{4 + V^{2}}{t}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $4 + V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{4 + V^{2}} \cdot \frac{4 + V^{2}}{t}$

Paso 6.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{t}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 V}{4 + V^{2}} d V = \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 V}{4 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $V$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{V}{4 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.2

Sea $u = 4 + V^{2}$ . Entonces $d u = 2 V d V$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u = 4 + V^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $4 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [4 + V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + V^{2}$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [4] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [4] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $4$ con respecto a $V$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Paso 6.2.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Paso 6.2.2.2.1.5

Suma $0$ y $2 V$ .

$2 V$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.5

Simplifica.

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Paso 6.2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 + V^{2}$ .

$\ln (| 4 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| 4 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 4 + V^{2} |) = \ln (| t |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 4 + V^{2} |) - \ln (| t |) = C$

Paso 6.3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |}) = C$

Paso 6.3.3

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |})} = e^{C}$

Paso 6.3.4

Reescribe $\ln (\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 4 + V^{2} |}{| t |}$

Paso 6.3.5

Resuelve $V$

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Paso 6.3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |} = e^{C}$

Paso 6.3.5.2

Multiplica ambos lados por $| t |$ .

$\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Paso 6.3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.3.1

Cancela el factor común de $| t |$ .

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Paso 6.3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 4 + V^{2} |}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Paso 6.3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 4 + V^{2} | = e^{C} | t |$

Paso 6.3.5.4

Resuelve $V$

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Paso 6.3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | t |$ .

$| 4 + V^{2} | = | t | e^{C}$

Paso 6.3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 + V^{2} = \pm | t | e^{C}$

Paso 6.3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm | t | e^{C}$ .

$4 + V^{2} = \pm e^{C} | t |$

Paso 6.3.5.4.4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$V^{2} = \pm e^{C} | t | - 4$

Paso 6.3.5.4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\pm e^{C} | t | - 4}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \sqrt{\pm C | t | - 4}$

Paso 6.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \pm \sqrt{C | t | - 4}$

Paso 7

Sustituye $\frac{x}{t}$ por $V$ .

$\frac{x}{t} = \pm \sqrt{C | t | - 4}$

Paso 8

Resuelve $\frac{x}{t} = \pm \sqrt{C | t | - 4}$ en $x$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $t$ .

$\frac{x}{t} t = (\pm \sqrt{C | t | - 4}) t$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{t} t = (\pm \sqrt{C | t | - 4}) t$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x = (\pm \sqrt{C | t | - 4}) t$