Cálculo Ejemplos

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.4.1

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

Paso 1.4.2

Como $\frac{1}{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Paso 1.4.4

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Suma $0$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y - x^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

Paso 2.3.4

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $0$ y $x^{- 2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = y - x^{- 1}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

Paso 5.4

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.2.2

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{- 1} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.5.2

Combina los términos.

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Paso 8.5.2.1

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Paso 8.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

Paso 9.1.1.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $\frac{y}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Paso 9.1.2.2

Combina los términos opuestos en $2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ .

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Paso 9.1.2.2.1

Resta $\frac{y}{x^{2}}$ de $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

Paso 9.1.2.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 d x$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 2 x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Paso 12.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

Paso 12.3

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$