Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x y + x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

Paso 1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x (y) + x \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $x^{2} y + y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

Paso 1.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

Paso 1.2.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

Paso 1.2.4

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x}{x^{2} + 1}$ por $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y$ de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide $y$ por $y + 1$ .

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Paso 2.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Paso 2.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Paso 2.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Paso 2.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Paso 2.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Paso 2.2.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.5

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = x^{2} + 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$