Cálculo Ejemplos

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d t}$

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{t}{5}$ y $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

Paso 1.1.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Paso 1.1.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Paso 1.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica $5 (y - 3)$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

Paso 1.1.3.2.1.2

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ por $t$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

Paso 1.2.2

Factoriza $5$ de $5 y - 15$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $5$ de $- 15$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $5$ de $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $y - 3$ de $5 (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y - 3$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 5 \ln (| t |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de ${| t |}^{5}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Paso 3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

Paso 3.5.4.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C {| t |}^{5} + 3$