Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $12 y^{2} + 2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $12 y^{2} + 2$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $2$ de $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $12 y^{2} + 2$ por $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $12 y^{2} + 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2$ de $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Paso 1.2.3.3

Factoriza $2$ de $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Paso 1.2.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Paso 1.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $6 y^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Dado que $12$ es constante con respecto a $y$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$4 y^{3} + 2 y = x + K$