Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = x^{5} - 5$ . Entonces $d u = 5 x^{4} d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = x^{5} - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Paso 2.3.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Paso 4.2.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{15}$ y $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Paso 4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{64}{15}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Paso 4.3.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Paso 4.3.3

Combina $5$ y $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $5$ por $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Paso 4.3.5.2

Suma $75$ y $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Paso 5

Sustituye $\frac{139}{15}$ por $K$ en $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{139}{15}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Usa el teorema del binomio.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{3}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $25$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.2.6

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Combina $\frac{1}{15}$ y $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $15$ de $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $15$ de $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.4.2

Factoriza $5$ de $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.4.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.4.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.4.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Paso 5.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Paso 5.3

Para escribir $- \frac{25}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{25}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Paso 5.4.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 25$ por $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Paso 5.6.2

Suma $- 125$ y $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$