Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $5$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Paso 5.2

Para resolver $K$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Paso 5.3

Reescribe $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Paso 5.4

Resuelve $K$

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Paso 5.4.1

Reescribe la ecuación como $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Paso 5.4.2

Simplifica $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Paso 5.4.2.2

Resta $20$ de $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Paso 5.4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$5 + K = 1$

Paso 5.4.4

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.4.4.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - 5$

Paso 5.4.4.2

Resta $5$ de $1$ .

$K = - 4$

Paso 6

Sustituye $- 4$ por $K$ en $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $- 4$ por $K$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$