Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 7 y = 11 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 7$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 7 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{7 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{7 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{7 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (11 x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (11 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = 11 x e^{7 x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = 11 x e^{7 x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int 11 x e^{7 x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{7 x} y = \int 11 x e^{7 x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $11$ es constante con respecto a $x$ , mueve $11$ fuera de la integral.

$e^{7 x} y = 11 \int x e^{7 x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Paso 6.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Paso 6.3.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

Paso 6.5

Sea $u = 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.5.1

Deja $u = 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.5.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 6.5.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 6.5.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 6.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

Paso 6.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Paso 6.7

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Paso 6.8

Simplifica.

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Paso 6.8.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

Paso 6.8.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

Paso 6.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

Paso 6.10

Reescribe $11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ como $11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

Paso 6.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $e^{7 x}$ y $\frac{1}{49}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Paso 7.1.2

Elimina los paréntesis.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ por $e^{7 x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ por $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{7 x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1.1

Factoriza $e^{7 x}$ de $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{7 x}$ de $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{7 x}$ de $- \frac{e^{7 x}}{49}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{7 x}$ de $e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49})$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x - \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.3

Para escribir $\frac{x}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $49$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1.1.4.1

Multiplica $\frac{x}{7}$ por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.4.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{49} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{x \cdot 7 - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.6

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{7 x - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.7

Combina exponentes.

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Paso 7.2.3.1.1.7.1

Combina $\frac{7 x - 1}{49}$ y $11$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49} e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.7.2

Combina $\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49}$ y $e^{7 x}$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11 e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.8

Mueve $11$ a la izquierda de $7 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.4

Cancela el factor común de $e^{7 x}$ .

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Paso 7.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{11 (7 x - 1) \cdot 1}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica $11$ por $1$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.2

Para escribir $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.3

Para escribir $\frac{C}{e^{7 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Paso 7.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $49 e^{7 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.4.1

Multiplica $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ por $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Paso 7.2.3.4.2

Multiplica $\frac{C}{e^{7 x}}$ por $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{e^{7 x} \cdot 49}$

Paso 7.2.3.4.3

Reordena los factores de $e^{7 x} \cdot 49$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(11 (7 x) + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.6.2

Multiplica $7$ por $11$ .

$y = \frac{(77 x + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.6.3

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$y = \frac{(77 x - 11) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Paso 7.2.3.6.5

Mueve $49$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + 49 C}{49 e^{7 x}}$